Hitos matemáticos de la antigüedad

Desde que la humanidad comenzó a hacerse preguntas acerca del mundo que le rodeaba, ha habido una rama científica siempre presente: la matemática. Hoy en día muchísima gente la encuentra como algo poco útil o aburrida, pero nada más lejos de la realidad. De hecho, con una matemática bastante sencilla y con mucho ingenio nuestros antiguos llegaron a calcular ciertas magnitudes físicas que mucha gente hoy en día ni siquiera podrían ni imaginar. Para esta entrada para el Carnaval de las Matemáticas, organizado por Tito Eliatron,  vamos a ver dos de estos hitos matemáticos logrados por la humanidad hace ya milenios: el cálculo del radio de la Tierra y el cálculo de la distancia y el tamaño de la Luna.

Cálculo del radio de la Tierra

Corría el siglo III a.C. cuando el filósofo, astrónomo y matemático Eratóstenes ideó un método para el cálculo del radio de la Tierra, basado en la trigonometría. El día elegido para la medición a partir de la cuál obtener los datos necesarios fue al mediodía de un solsticio de verano. Por los manuscritos de su biblioteca, Eratóstenes sabía que en Siena (actualmente Asuán) los objetos no proyectaban sombra al mediodía del solsticio de verano; es decir, la ciudad se encuentra en el Trópico de Cáncer. Esto se debe a que los rayos del Sol inciden de forma perpendicular a la superficie y por tanto, la sombra está justo debajo del objeto: no hay proyección visible. Uno de sus sirvientes se desplazó a Siena para realizar la comprobación, mientras que él se quedaba en Alejandría para hacer el mismo experimento allí. El resultado: en Alejandría, a la misma hora, los objetos sí que proyectaban una pequeña sombra.

Dicha proyección era de algo más de 7 grados. Suponiendo ahora que los rayos del Sol que llegan a la Tierra son paralelos y que Siena y Alejandría están en la misma longitud (distan tan solo 3º), y sabiendo la distancia entre las dos ciudades era sencillo llegar a calcular el radio terrestre. Existen diferentes historias sobre cómo sabía Eratóstenes la distancia entre ambas ciudades, como que envió a un sirviente contando los pasos, o que usó la estimación de las caravanas de comercio; pero lo realmente importante es que tenía un valor de 5000 estadios (785 km). También existe discrepancia en la longitud de un estadio ya que la definición es diferente para un estadio de 185 metros o el estadio egipcio de 157 metros, pero eso es lo de menos. Lo que está claro es que dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250000 estadios (39250 km) de la forma siguiente:

  • Tenemos que para 7 grados, la distancia es de 5000 estadios.
  • 7 grados entra 50 veces en 360 grados que es la circunferencia completa.
  • Así pues, si multiplicamos 5000 estadios por 50 tendremos el perímetro de la circunferencia. El perímetro es 250000 estadios.
  • Para hallar el radio sólo deberemos dividir el perímetro entre 2π. Por tanto el radio es 39800 estadios, o lo que es lo mismo casi 6250 km.

Hoy en día sabemos que el radio medio de la Tierra es de 6371 km, por lo que el error cometido por Eratóstenes fue de tan solo 120 km: algo menos de un 2%. Esto es todo un logro para realizar un cálculo tan preciso de una forma tan aparentemente rudimentaria.

Cálculo de la distancia y el tamaño de la Luna

El siguiente hito es el de la medición de la distancia y el tamaño de nuestra Luna. El autor fue Aristarco de Samos, también astrónomo y matemático griego, en el siglo III a.C.. Para ello utilizó también una trigonometría bastante sencilla, pero con unos resultados sorprendentemente precisos.

Todo comenzó con la observación de un eclipse lunar. Aristarco determinó que el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse por la sombra que proyectaba la Tierra durante el eclipse era aproximadamente la mitad del tiempo que duraba dicho eclipse. Así pues, el diámetro de la sombra era unas dos veces el diámetro de la Luna. Otra cosa que determinó es que la Luna tardaba alrededor de una hora en salirse de la sombra de la Tierra, de donde se deduce que la Luna recorre en una hora una distancia equivalente a su propio diámetro.

Por otro lado, se sabía que nuestro satélite tarda 29,5 días en completar una órbita alrededor de la Tierra, por lo que es sencillo demostrar que la órbita de la Luna es de 708 diámetros lunares. Y por trigonometría sencilla, estimó la distancia de la Tierra a la Luna en 225,4 radios lunares.

De la figura superior, Aristarco calculó mediante trigonometría que el radio de la Tierra es 2,85 veces el radio de la Luna, cuando el resultado es de 3,66 veces. Sabiendo el radio, calculó sencillamente la distancia Tierra-Luna aplicando el resultado anterior de que esta distancia eran 225,4 radios lunares. El resultado que obtuvo fue de 79 veces el radio de la Tierra, cuando hoy en día sabemos que la distancia a la Luna es de unos 60 radios terrestres.

Aristarco también trató de calcular la distancia de la Tierra al Sol, pero fracasó en su intento, dando un resultado (19 veces la distancia de la Tierra a la Luna) completamente erróneo.

Como podéis ver, los resultados de Aristarco son algo peores en cuanto a precisión que los de Eratóstenes, pero lo cierto es que en ambos casos es sorprendente como el ingenio humano puede llegar a resolver problemas tan complejos como el saber el radio de nuestro planeta o la distancia a la que se encuentra nuestra Luna y lo grande que es. Y lo que es más importante: son dos hitos matemáticos que se dieron en el siglo III a.C. aplicando una matemática completamente básica.

Saludos

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Sobre el Autor:

Físico de materiales, nacido en El Bierzo y adoptado en tierras asturianas y vascas durante su paso por la Universidad de Oviedo y la Universidad del País Vasco. [...]

21 Comentarios & 7 Trackbacks

  • Muy bueno!

    La capacidad de medir lo que no se puede tocar creo que es una de las fuentes de asombro más primarias y yo diría una buena forma de contactar con el público general

    Saludos

    Javier

  • Es Asuán (o Aswan, en Egipto) la ciudad a la que se refería Eratóstenes. Esta ciudad, a diferencia de Siena (Italia), sí se encuentra sobre el Trópico de Cáncer.

  • @Javier: Muchas gracias Javier

    @mario: Efectivamente la ciudad actualmente se llama Asuán, pero en la antigüedad llevaba el nombre de Siena. Voy a añadirlo en el artículo para evitar confusiones. Gracias

  • Me ha parecido una entrada muy interesante y sencilla de entender! Esta gente del pasado nos daba mil vueltas.

    Enhorabuena

  • Sobre la distancia Tierra-Sol, creo que el error estaba en que los ángulos que obtuvo tenían una tangente tan grande, que un mínimo error en su medida le daba al traste con todo.

  • @merys: Gracias

    @Stonet: No te se decir. En la Wikipedia no aclaran mucho el asunto tampoco… Sólo que usó una geometría y trigonometría correcta, pero que con datos de observación erróneos.

  • Excelente. Sabía el de Eratóstenes, pero no sobre el de la Luna. Un claro ejemplo de que hace más falta el sentido común que la ‘carga cultural’ para descubrir y comprender las cosas.

    Saludos
    PLPLE

  • Tengo una pregunta:

    ¿Cómo sabían Eratóstenes y el sirviente que estaban mirando la sombra exactamente a la misma hora?

    Lo digo porque en esa época todos los relojes debían de ser solares (y estaban a mucha distancia el uno del otro).

    Saludos,

    – Eloi

  • @PiensoLuegoPiensoLuegoExisto: Completamente de acuerdo

    @Eloi: Obviamente dudo que estuvieran sincronizados completamente como lo podemos estar nosotros ahora con los relojes de pulsera, pero sabiendo que el Sol se encuentra es su punto más alto al mediodía es cuestión de esperar el momento en el que los objetos proyectan menor sombra. Es una medida indirecta de la hora, pero puede servir perfectamente. Se me ocurre que también podrían usar un reloj solar porque están a la misma longitud, pero tendría que mirar qué relojes solares había en aquella época.

    Saludos

  • No recuerdo si fue Canal Historia, Discovery u Odisea quien propuso repetir el experimento de Eratóstenes en los patios de los colegios con motivo del Año Internacional de la Astronomía.

  • Fascinantes ambos, pero realmente me he quedado impresionado con el del cálculo del radio de la Tierra. Había leído algo hace tiempo, pero desde luego que así detallado es simplemente impresionante.

    Y luego nos creemos inteligentes por saber usar un ordenador para que nos calcule algo… lo de los griegos si que era un perfecto compendio de inteligencia e ingenio.

  • @Milhaud: No puedo estar más de acuerdo

  • Wis, tanto en el articulo como en un comentario que haces más adelante dices que las ciudades estaban en “misma latitud” y creo que es un error. Las ciudades estaban más o menos “en la misma LONGITUD”, vamos en el mismo meridiano. Solo asi podrian coincidir las horas y producir diferentes sombras

  • @Daryl: Tienes toda la razón. Ahora mismo lo corrijo. Gracias

  • Impresiona de lo que eran capaces de saber acerca del mundo con instrumentos tan sencillos. De hecho, Aristarco de Samos fue el primero en colocar el sol en el centro del universo girando la tierra y el resto de planetas a su alrededor, idea que no se asentó hasta Copérnico.

    El instrumento usado por Eratóstenes para determinar el radio de la tierra es el gnomon.

    Por otra parte, creo que hay un error en el texto de Aristarco: el tiempo que tarda la Luna en recorrer la sombra que proyecta la Tierra durante el eclipse será aprox. el doble (no la mitad) del tiempo que duraba dicho eclipse. Así pues, el diámetro de la Luna seré la mitad no dos veces el diámetro de la sombra, ¿no?

    Gran entrada! Saludos!

  • @toño: Menudo error más tonto… Ya lo he corregido, gracias

  • Lo que sí tengo entendido es que el sirviente de Eratóstenes viajó hasta Siena en una caravana de mercaderes porque por una parte era una forma segura de viajar y de llegar correctamente al destino, y por otra parte porque los mercaderes estaban muy enterados de las distancias que separaban entre sí los lugares por los que pasaban, al fín y al cabo era su trabajo y en ello les iba poco menos que la vida.
    Los mercaderes tenían que saber cuantos estadios podían y debían recorrer para que no les alcanzase la noche en mal lugar, por ejemplo, o para no quedarse sin agua y/o provisiones, etc. Ese conocimiento en concreto era casi exclusivo de ellos. En mas de una ocasión los correos entre diferentes ciudades o incluso entre jefes de Estado era encomendado a mercaderes, y en algunas campañas militares los mercaderes eran consultados sobre las mejores rutas de avance y el tiempo que costaba cubrirlas.
    Esto aspectos de la vida de los mercaderes eran sabidos por Eratóstenes.

  • Tengo una duda, basada por supuesto en la ignorancia, pero allá va:
    Por esas fechas (III a.C.), ¿Se había planteado ya alguien la posibilidad de que la tierra fuese redonda? Quiero decir, con todo eso del fin del mundo, y de que la Tierra era plana…
    Pregunta 2: ¿Cómo podían saber que realizaban la misma medición a la misma hora? Es decir, creo que por esos tiempos corría el reloj de sol y, además de ser impreciso, si lo que iba a medir era una sombra… ¿no se vería igualmente afectado el reloj de sol por esto? Es decir, si son las 12 en un sitio (según un reloj), en el otro puede que sean las 12:20… o qué sé yo, es por curiosidad xDDD.

    Gracias, nos leemos-

  • @Erathyan: Sí, obviamente ya se planteó la posibilidad de que la Tierra fuese redonda, y de ahí que Eratóstenes ideara su experimento para medir el radio. Lo de que la medición se realizara a la misma hora es, efectivamente, bastante complicado, pero se podía estimar bastante bien con relojes de Sol.

    Saludos

  • Muy interesante el calculo para encontrar el radio de la tierra y luna, Sres. tengo una pregunta creen ustedes que el hombre ya halla llegado a la luna. (los americanos). me gustaria encontrar un repuesta bien acertada sobre esta materia.

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