Sumergiéndonos en un pozo gravitatorio

Sin duda alguna todo el mundo sabe lo que es la gravedad y los efectos que tiene, pero lo que os voy a contar hoy son los efectos de la fuerza de atracción gravitatoria desde el punto de vista de la energía que posee el objeto que está en órbita. En realidad se trata de un método general que con pequeñas modificaciones se puede aplicar a cualquier tipo de campo de fuerzas central, pero tomaremos el caso del campo gravitatorio ya que es el ejemplo práctico más común. Para que vayáis centrándoos en la materia os dejo con un pequeño vídeo introductorio que seguro que os gusta.


Os he puesto el vídeo este porque, aparte de que es genial, es un claro ejemplo de un cuerpo orbitando a otro. Se trata de una órbita circular, pero más adelante veremos que no tienen porque ser todas las órbitas así. Para empezar tendremos que hacer un par de definiciones de las magnitudes físicas que vamos a utilizar.

En primer lugar tenemos la energía cinética. Es de física elemental que la energía cinética se define como un medio del producto de la masa por la velocidad al cuadrado, así que no hay mucho más que decir. En relatividad varía un poco, pero como no estamos tratando con cuerpos que viajen próximos a c no nos influye.

Y por otro lado tenemos la energía potencial. Como bien sabéis, la definición de esta magnitud varía según el tipo de fuerza implicada, pero en este caso se utiliza la energía potencial derivada de la fuerza de atracción gravitatoria; es decir, el producto de la constante de gravitación universal por las masas de los dos cuerpos estudiados entre la distancia que los separa.

Para nuestro caso, realmente utilizaré el potencial efectivo que es lo que se usa al tratar de estudiar la órbita de un cuerpo. Este potencial efectivo es la unión de dos sumandos, un denominado término de barrera centrífuga y otro que es la energía potencial. Éste último con signo negativo debido a que la fuerza es atractiva. No me gusta demasiado poner fórmulas, pero en este caso creo que va a ayudar escribir la ecuación que nos da el potencial efectivo para que entendáis los pasos siguientes.

potencial_efectivo.png

Donde l es el momento angular, es decir el producto vectorial entre el radio y el momento lineal o cantidad de movimiento. De todas maneras no os preocupéis por esto porque lo que nos interesa es ver como varía el potencial efectivo en función del radio y para ello no hay mejor manera que ver la forma que tendría una gráfica si representamos el potencial efectivo frente al radio. Lo que obtenemos es algo así:

grafica-potencial-efectivo.png

Una vez visto esto ya podemos determinar el tipo de órbita según la energía que posee el cuerpo que orbita. Y eso es tan fácil como ir dando valores a la energía e ir observando que ocurre con el radio. Realmente damos valores de la energía total, que viene dada en nuestro caso como la suma de la energía cinética más el potencial efectivo, pero como la energía cinética no depende del radio, podemos utilizar la gráfica anterior.

grafica-potencial-efectivo-y-energias.pngComo veis en la gráfica de la derecha, he dado diferentes valores a la energía: E1, E2, E3 y E4. Para cada energía tenemos que unos cortes con la gráfica y que se corresponden con los valores que puede tomar el radio de la órbita. Esto es llamado zona accesible. Quizá no lo entandáis muy bien de palabra, pero analizando qué ocurre en cada uno de los casos seguro que lo comprenderéis mejor.

  • En E1, la energía corta tangencialmente a la gráfica, de modo que solo hay un punto accesible (aunque en el dibujo exactamente no). Ya que solo tenemos un valor para el radio, la órbita debe ser circular. Es bastante complicado tener una órbita así, aunque los planetas se acercan mucho.
  • En E2, la energía corta a la gráfica en dos puntos. Esto quiere decir que la órbita del planeta variará entre el primer valor y el segundo, dando como resultado una órbita elíptica. El radio menor recibe el nombre de periastro (perigeo para la Tierra), y el radio mayor es el apoastro (apogeo para la Tierra). Es el caso más común y casi todos los cuerpos de nuestro Sistema Solar tienen una órbita de este tipo.
  • En E3, la energía es exactamente 0. La recta corta a la gráfica únicamente en un punto de radio próximo al centro de fuerzas. La asíntota que tiene la función cuando r tiende a infinito hace que el radio pueda entonces variar entre ese primer valor y el infinito, de modo que la órbita es parabólica. Esto suele pasarle a asteroides desviados de su órbita. Después de su paso cerca del Sol son expulsados fuera del Sistema Solar ya que tienen tanta energía que el Sol no puede volver a capturarlos.
  • En E4 es el extremo del caso con la energía E3. Al tener tanta energía, el cuerpo ya no bordea completamente al Sol sino que sale disparado antes describiendo una órbita parabólica. No conozco casos, pero es probable que algún asteroide o cometa lo haya sufrido. Destacar que por mucho que aumentemos la energía del cuerpo, éste nunca llegará a un radio igual a 0, debido al término de barrera centrífuga.

Así pues, ya sabéis como varían las órbitas dependiendo de la energía que tenga el cuerpo que está orbitando. Esto se puede aplicar a cualquier caso siempre que la masa de uno de los cuerpos sea mucho mayor que la masa del otro. Es decir, para estudiar el movimiento de un satélite orbitando a la Tierra, un planeta alrededor del Sol (salvo Júpiter), y cualquier situación de este tipo que se os ocurra. Bueno amigos, nada más; espero que tantas matemáticas no os hayan aburrido y hayáis aprendido algo nuevo sobre la gravitación.

Saludos

sistema_solar.gif

Fuente para los dibujos: Asturphysics

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Sobre el Autor:

Físico de materiales, nacido en El Bierzo y adoptado en tierras asturianas y vascas durante su paso por la Universidad de Oviedo y la Universidad del País Vasco. [...]

21 Comentarios & 1 Trackback

  • […] Sumergiéndonos en un pozo gravitatorio Sin duda alguna todo el mundo sabe lo que es la gravedad y los efectos que tiene, pero lo que os voy a contar hoy son los efectos de la fuerza de atracción gravitatoria desde el punto de vista de la energía que posee el objeto que está en órbita. En realidad se trata de […]… Wis Physics  ( 4 de marzo de 2008 a las 10:40) […]

  • yo creo que del tipo 4 pero no estoy muy seguro, podrian ser cuerpos que viniesen de fuera de nuestro sistema solar,con lo cual tendrian una velocidad enorme, tambien seria una forma de idintificar una colonia extraterrestre, como pasa en la novela ‘cita con rama’.
    si descubriesemos un asteroide que se acerca a una velocidad tan grande, podriamos sospechar que viene de fuera de nuestro sitema e incluso sospechar que es artificial.

  • Es una teoría interesante Gouki. Sin embargo tendría que viajar con mucha velocidad para proporcionarle tanta energía. Date cuenta que los planetas se encuentran al final del pozo gravitatorio casi con la mínima energía. Aún así es perfectamente posible. Lo único que también puede que no se complete la órbita hiperbólica alrededor del Sol debido a alguna interacción con los planetas de nuestro Sistema Solar, o ésta se convierta en parabólica o elíptica. Todo podría pasar…

  • un colonia extraterrestre que viaje de estrella a estrella tendra que tener valores altisimos en su velocidad,imaginate una viajando al 1% de c, si pasase de camino por el sistema solar, la gravedad del sol seria incapaz de retenerlo, para ello la colonia tendria que desacelelar mucho.

    ya que estuvimos hablando el otro dia de ello, podrias haber comentado algo de las orbitas de transferencia Hohmann,aun asi muy interesante la entrada

  • Viendolo así tienes razón. Tienen que venir bastante rápido para llegar en un tiempo razonable.

    Ahora que dices lo de viajar a velocidades comparables a la de luz, se me ha ocurrido que la luz es un claro ejemplo de órbita hiperbólica. Cuando pasa cerca de un cuerpo masivo, la luz se curva tomando una órbita de este tipo.

    De las órbitas de transferencia de Hohmann hablaré otro día que tengo unos cuantos cálculos hechos y no quiero desperdiciarlos. Además la entrada de hoy ya era suficientemente extensa. Y me alegro de que te resultara interesante

  • Qué bueno que es el vídeo. El resto también, pero guardo malos recuerdos de las clases de mecánica de la carrera y me los ha despertado. Aún así, la mecánica clásica es muy bonita y no se le presta la atención suficiente por las bitácoras. Así que felicidades.

  • Muchas gracias Eugenio. La mecánica clásica es bonita hasta que te empiezan a meter demostraciones de todo. Entonces ya empiezas a mirarla con otros ojos. :mrgreen: :mrgreen:

    Lo de que se hable poco de ella es normal, la mecánica cuántica es bastante más sorprendente, y llama más la atención de los visitantes. Pero claro, todavía no la entiendo ni yo así que como para explicarla aquí. :mrgreen: :mrgreen:

  • Muy buena la entrada Wis, te felicito, aunque solo una cosa : No todo el mundo sabe lo que es la gravedad, se puede tener una idea vaga del concepto pero la gravedad es bastante compleja, solo piensa en la teoría general de la relatividad, si la especial es difícil la general (que trata de explicar la gravedad) es mucho mas complicada, el mismo Newton dijo que no sabia como explicar esa fuerza misteriosa pero que había podido describirla, bueno mas o menos eso dijo no tengo la cita exacta.

    Salu3

  • Ha, otra cosa, en vista de que acá no utilizamos el termino “Mola” tendré que importarlo de ahora en adelante, aquí decimos “gusta” pero gusta no mola :mrgreen: .

    Aclarado lo anterior, el vídeo mola mucho

  • jaime, mola, el vídeo mola, MOLA mucho. Tienes razón, no sé por qué, a veces, no se usan ciertos términos.

    Tengo por ahí la cita de Newton, cuando la encuentre, la pongo. El problema era que Sir Isaac no creía que las fuerzas se pudiesen ejercer a distancia, debía haber algo intermedio. Si te pones a pensar, con Einstein se le da un poco la razón (es una visión personal) ya que, éste, lo que hace es trasladar el problema al entramado espacio tiempo: el espaciotiempo está curvado por la presencia de masas. No es que no se den fuerzas a distancia, sino que todo el espacio está deformado por los campos gravitatorios. Qué mal me he explicado.

  • La verdad es que estás en lo cierto Jaime, la gravedad es mucho más complicada de lo que parece a simple vista y muchos grandes científicos han intentado explicarla con mayor o menos éxito. Sin embargo, a lo que me refiero con esa primera frase de la entrada es que todo el mundo conoce de forma intuitiva qué es la gravedad y que atrae a los cuerpos. Una idea aproximada es suficiente para entender la entrada.

    Y el término “gusta” también se usa aquí, pero es más común lo de “mola” (sobretodo entre los jóvenes). Viene a ser más o menos como “it’s cool”.

    Eugenio, un profesor no puede decir que se ha explicado mal que si no pierde toda su credibilidad!! :mrgreen: :mrgreen: Aún me quedan un par de años antes de llegar a la teoría general de la relatividad, pero yo más o menos entiendo que Eintein no explicaba directamente la gravedad sino que explica su efecto a través de las masas. Un cuerpo masivo como el Sol deforma el espacio-tiempo y entonces el resto de cuerpos sigue “líneas” de atracción en su movimiento orbital que dependen de la energía de dicho cuerpo (lo que he explicado en la entrada). Me equivoco mucho?? :roll: :roll:

  • Sí, en esencia, quitando todo el cálculo tensorial, es eso mismo. Your post is cool!

  • Quitando el cálculo tensorial que me imagino que no será fácil, verdad?? Sería una simplificación bastante notable. Pero bueno, algún día lo explicaré por aquí.

    Gracias de nuevo por pensar que el post es cool. :mrgreen: :mrgreen:

  • De órbitas hiperbólicas, tenemos por ejemplo a las Voyager, cada vez que usaban un planeta para darse impulso e ir hacia el siguiente. También en el caso de un asteroide que se acerque a la tierra mucho y no sea capturado, la “órbita” será de este tipo. Ahora, si buscáis órbitas hiperbólicas alrededor del Sol, la velocidad necesaria es bastante mayor…

    Saludos!

  • Tienes razón DarkSapiens. Parece ser que las órbitas hiperbólicas al final son más comunes que las parabólicas. Pero vamos, que yo me quedo con nuestra órbita casi circular, eh??

  • Fuente para los dibujos dice… y para todo el artículo… PLAGIADOR xD

  • Todo el artículo dice!! Solo me inspiré en el tuyo, que la teoría está dada de clase.

    Además en tu artículo ya no hay gráficas!! Las borraste?? :???:

  • Me pareció muy buena tu explicación es sencilla y a la vez completa, solo me quedo una pequeña duda que espero me puedas ayudar, cuando hablamos de la potencial efectivo respecto al radio, que nos quiere decir el punto de inflexión? es decir en la realidad que significa ese punto representa algún cambio?

    Gracias

  • @hikari: A qué punto de inflexión de refieres?? :?

  • Siguiendo la grafica de arriba seria aproximadamente el segundo punto que toca E2 claro que no me refiero al punto con respecto a la energía si no donde la grafica pasa de ser cóncava hacia ariba a cóncava hacia abajo, por que ocurre ese cambio?

  • @hikari: Me imaginaba que sería ese punto, pero no sabía porqué me preguntabas acerca de ese punto. Pues no sucede nada, es un punto normal.

  • bueno gracias

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